[미적분의 힘 Infinite Powers]by스티븐·스토로갓츠 Steven Strogatz모든 것은 변화하고 모든 변화는 미적분으로 설명된다.인류 문명의 근간을 이루는 위대한 수학적 통찰.복잡한 세계를 푸는 단순하고 강력한 도구.”미분학은 복잡한 문제를 무한히 많은 단순한 조작으로 나눈다.그리고 적분학은 이들 조각을 다시 맞춰서 처음의 문제를 풀”
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# 제2차 세계 대전을 소재로 대작을 쓰려고 조사 작업을 하던 소설가 허먼·워크는 원자 폭탄을 개발하는 맨해튼 계획에 참여한 물리학자 리처드·파인먼과 면담이 끝나고 헤어져경 파인만은 워크에 미적분학을 아느냐고 물었다.워크는 모른다고 솔직하게 답했다.하면 파인먼이 말했다.” 배우고 두는 게 좋겠어요.신이 쓰는 언어니까.”12p우주가 항상 미적분학 언어를 사용하고 미분 방정식이라는 글로 표현 할 수 있는 자연의 법칙을 따르는 것은 신기하고 있으면서도 경이적인 사실이다.미분 방정식은 지금 이 순간 무엇인가와 무한으로 짧은 순간 안팎의 그것과의 사이의 차이를 기술한다.이 경이적인 주장을 따로 표현한다면 우주에는 암호 같은 것, 즉 매 순간 모든 장소에서 모든 것에 생명을 불어넣는 일종의 운영 체제가 있어 보인다.12p고대의 4원소인 흙, 공기, 불, 물에서 최근 발견된 전자, 쿼크, 블랙 홀, 초 끈까지 우주의 모든 무생물 물체는 미분 방정식의 규칙을 따른다.우주의 비밀과 부를 수 있는 것을 하나 들라고 한다면 미적분학이 바로 그 주인공이다.13p1860년대에 스코틀랜드의 수리 물리학자 제임스·클라크, 맥스웰은 전기와 자기에 관한 실험적 법칙을 미적분학의 위에 넣을 수 있는 기호 형태로 변모시켰다.그러자 그 위가 조금 꿈틀거리고 엉뚱한 방정식을 토했다.그렇다면 물리학에게 무슨 잘못이 있음에 틀림 없다.맥스웰은 안 페루의 법칙이 범인이 아닌가 의심했다.맥스웰은 이 문제를 해결하기 위해서 자신의 방정식에 새로운 항(모순을 없앨 수 있는 가상의 전류)을 가한 뒤 미적분 계산을 다시 던졌다.이번은 이치에 맞는 결과가 나왔지만, 호수 위에 펼쳐진 물결을 기술하는 방정식과 비슷한 단순하고 우아한 파동 방정식이었다.다만 그 결과가 전기장과 자기장이 함께 손을 맞잡고 춤추며 가는 새로운 종류의 파동을 예측한다는 게 문제였다.바뀌는 전기장은 바뀐 자기장을 만들고 바뀐 자장은 다시 전장을 만들고 그렇게 각각의 장소가 다른 장을 만들며 함께 나아가에너지 파동이다.그리고 이 파동의 속도를 계산하면 놀랍게도 빛의 속도와 마찬가지였다.그래서 맥스웰은 미적분학을 쓰고 단순히 전자파의 존재를 예측했을 뿐 아니라 오랫동안 수수께끼로 남아 있던 문제까지 해결했다.그 문제는 바로 빛의 본질이 무엇이냐는 것이었다.맥스웰은 빛이 전자파임을 발견했다.18p미적분학은 놀랄 만큼 강력한 추론 체계이기도 하다.미적분학은 특정 규칙대로 다양한 기호 연산을 함으로써 한 방정식을 다른 방정식으로 바꿀 수 있다.기호를 이리저리 바꾸는 것은 유용한 지름길 해법으로, 너무 복잡하고 머릿속에 넣지 못하는 논거를 만드는 데 편리한 방법이다.19p의 2개의 영역이 얼마나 다른지를 생각하면, 미적분학이 자연을 너무나 잘 모방한다는 사실은 매우 기괴하게 보인다.미적분학은 기호와 논리로 구성된 상상의 영역인 반면, 자연은 힘과 현상으로 구성된 현실 영역이다.그러나 현실을 기호에 매우 교묘하게 번역하자면, 미적분학의 논리는 현실 세계의 한가지 진실을 쓰고 다른 진실을 만들어 낼 수 있다.이처럼 미적분학은 미래를 내다보고 미지의 사실을 예측한다.이런 이유로 미적분학은 과학과 기술의 강력한 도구가 될 수 있다. 20p
하버드대에서 박사 학위를 받으며 하버드 대학과 MIT를 거쳐서 1994년부터 코넬대 제이콥·골드 무속인 응용 수학 석좌 교수로 재직한 작가 스티븐·스토로가ー츠 Steven Strogatz간단히 말하면, 미적분학은 어려운 문제를 단순히 만들려고 한다.미적분학은 단순함에 지나치게 집착한다.미적분이 복잡하게 보이는 이유는 복잡한 문제를 다루기 위해서다.정말 급진적이고 독특한 미적분학의 비법은 분할 정복 devide-and-rule하는 이 전략을 극단적으로, 즉”무한에 이르기까지 “추구하는 데 있다.큰 문제를 여러개의 작은 부분에 나누는 대신 나누고 다시 붕괴 과정을 끝없이 반복해서 문제를 밀처럼 매우 작은 부분으로 나누고, 그런 부분이 무한히 많이 생긴다.이 과정이 끝나면 작은 부분을 대상으로 문제를 풀지만 그러면 처음의 큰 문제보다 해결이 훨씬 쉽다.남은 문제는 이렇게 얻은 작은 답을 다시 맞추는 것이다.그래서 미적분학은 분할과 다시 조립이라는 2단계로 나누어 진행된다.분할 과정은 항상 미소한 뺄셈 과정을 무한히 많이 포함하지만, 이는 부분 간의 차이 difference를 계량화하는 데 사용된다.그래서 미적분학의 절반에 해당하는 이 과정을 미분 diffrential calculus라고 부른다.다시 조립 과정은 항상 덧셈 과정을 무한히 많이 포함하지만, 부분을 맞추고 integrate의 전 전체로 한다.미적분학의 나머지 절반에 해당하는 이 과정을 적분 integral calculus라고 부른다.24p수학은 합리적이긴 하지만 처음부터 항상 그랬던 것은 아니다.창조성은 직관적으로 대두되고 이성은 나중에 등장한다.미적분의 이야기는 논리는 항상 직관보다 뒤떨어지고 있었다.이 때문에 미적분학은 특히 인간적이고 친근하게 느껴지는 분야이며, 이 분야의 천재들은 우리와 비슷하게만 보인다.27p미적분학의 발전을 이끈 중요한 수수께끼의 3개는 곡선 운동, 그리고 변화이다.이 수수께끼는 얼핏 그렇게 중요하지 않게 보이고, 심지어 좌절을 느끼게 만들 정도로 난해하게 보일지 몰라도 이들 수수께끼의 해결은 문명의 발전과 우리의 일상 생활에 커다란 영향을 미쳤다.27p미적분학은 휘어진 형태에 대해서 기하학자가 느낀 호기심과 좌절에서 태어났다… 그렇긴미분학은 변화하는 운동으로 일어나는 시간과 거리의 무한히 작은 변화뿐 아니라 해석 기하학에서 나타난 곡선 중의 무한으로 짧은 직선 부분을 다루는 데 꼭 필요한 것이었다… 그렇긴뉴턴은 모든 종류의 운동은 매 순간 미적분학의 언어로 쓰여진 수학 법칙대로 움직이며 늘 아주 작은 보폭으로 한번에 한발짝씩 떼겠다는 사실을 발견했다.33p항상 변화하는 한국 세계의 일부 측면이 무한한 원리에 내재하는 근사와 희망 섞인 생각의 범위 밖에 있는 것은 분명하다.예를 들면, 아원자 영역에서 물리학자들은 전자를 더 이상 행성이나 포탄 같은 방식으로 매끄러운 경로를 따라서 움직이는 고전적인 입자라 생각할 수 없다.양자 역학에 따르면 현미경 수준에서는 전자의 궤적이 심하게 흔들리는 흐릿하게 불완전하게 규정되기 때문에, 전자의 행동은 뉴턴 역학의 궤적 대신 확률 파동으로 기술해야 한다.그러나 그런 순간 미적분학이 의기 양양하게 돌아온다.미적분학은 슈뢰딩거 방정식을 통해서 확률 파동의 진행을 좌우한다.믿기 어렵겠지만 이는 사실이다.뉴턴의 미적분학은 뉴턴의 물리학이 붕괴하는 아원자 영역에서도 여전히 성립되어 있다. 35p1장 예 무한수학적으로 엔화는 변화 없는 변화를 상징한다.원주 위를 움직이는 점은 계속 방향이 바뀌고도 중심으로부터의 거리는 바뀌지 않는다.이는 최소한의 변화 방법, 가장 적은 변화하면서 휘어지는 방법이다.그리고 물론 엔화는 대칭적이다.원을 중심 주위에 회전시키면, 그 형태에 아무런 변화도 없는 것처럼 보인다.초기의 기하학자들은 원과 공, 원주, 원뿔에 큰 매력을 느꼈지만 이들은 삼각형, 직사각형, 정방형, 정육면체를 비롯한 나머지 직선 도형보다 분석하는 것이 훨씬 어려웠다.그들은 휘어진 표면의 면적과 휘어진 입체의 부피를 구할 방법이 신경이 쓰였지만 이 문제를 어떻게 해결해야 하는지 아무런 단서도 얻지 못 했다.42p미적분학은 기하학의 부산물로 시작했다.무한은 의심스러운 명성을 가지고 있었다.무한은 아무 도움도 되지 않고 무서운 존재로 알려졌다.또, 애매하고 쩔쩔매는 속성까지 있었다.무한의 정확한 실체는 수?장소인가?개념일까… 그렇긴처음의 큰 성과 중 하나는 오랫동안 풀리지 않은 난제인 원의 넓이를 구하는 문제를 해결한 것이었다. 43p피자를 무한히 많은 피스를 나눈 뒤 그 부분을 마술처럼 재배열하고 직사각형을 만든다.직사각형의 넓이를 구하는 결과는 엔화의 넓이를 구하는 공식이다.43~48p”A=rC/2″라는 이 결과는 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가<원의 측정>라는 논문에서 처음으로 증명했다… 그렇긴그 모양이 진짜 직사각형이 된 것은 “무한” 많은 조각의 극에 달했던 때였다.이는 미적분학의 배후에 있는 멋진 개념이다.무한히 이르자 모든 것이 너무 쉽게 된다.48p극한 limit은 도달할 수 없는 목적지와 마찬가지다.거기에 점점 다가갈 수 있지만 절대로 거기에 도착할 수 없다.극한은 미묘한 개념이지만, 미적분학의 핵심 개념이다.아마도 가장 비슷한 비유는 벽의 수수께끼가 아닌가 싶다.지금 서는 데서 벽까지 갈 때 그 절반의 거리까지 가야 하고 다시 나머지 절반의 거리가 남아 있으면, 다음은 남은 거리의 절반을 갖고···마침내 벽에 도달하는 마지막 단계가 올 수 있을까?그 답은 분명히” 아니다”이지만, 벽의 수수께끼는 각 단계마다 꼭 벽까지 남은 거리의 절반을 가야 한다는 조건이 있기 때문이다.현대적인 관점에서 보면 극한은 모든 미적분 개념의 기반을 이루고 있어 매우 중요하다.극한에 가까워지자 존재는 끝없는 모험에 연루된 영웅 같다.50p0.333···후에 있는 점 3개를 해석하는 방법은 2가지다.순수한 해석은 문자대로 소수 점 뒤에 3이 무한히 많이 마련된다고 보는 것이다.이를 “실무한 completed infinity”라고 부른다.이 해석의 장점은 무한의 의미에 대해서 깊이 생각하지 않는 한 무한이 쉽고 상식적으로 보인다는 데 있다.세련된 해석은 0.333···이 한계를 대표한다고 보는 것이다.열심히 노력하면 3분의 1에 가까운 근사치를 얻을 수 있다.이를 “무한 potential infinity”해석이라고 부른다.이 해석의 장점은 비현실적인 무한 개념을 도입할 필요가 없다는 데 있다. 53p점의 수가 많아질수록는 각형은 더욱 둥근 형태에 가까워지면서 엔화에 점점 다가간다.한편 변의 길이는 점점 짧아지고 편의 수는 갈수록 많아진다.편의 수가 점점 많아지면서 정다각형은 엔화가 극한인 것처럼 엔화에 점점 다가간다.이렇게 무한이 다시 두개의 세계를 잇는 다리이다.엔화에 한없이 점점 다가가지만 실제로 완전한 엔화의 단계에는 이르지 않는다.여기서 우리가 다루는 무한은 실무의 뿐이 아니고,이 무한하고 있다. 55p우리는 결단을 내리고 엔화는 정말 무한하게 작은 변을 무한히 많은 정다각형이라고 해야 할까?아니, 그렇게 하고는 안 된다.그 유혹에 져서는 안 된다.그러면 실제 무한의 죄를 범하게 된다.그래도 이 직관에는 매우 매력적인 점이 있다.57p0으로 나누는 행위는 무한을 소환한다.그것은 위험하다.절대 해서는 안 되는 것이다.동생의 수가 작을수록 답은 무한히 가까워지다.어느 것을 0으로 나누지 말아야 할 이유가 바로 이것이다.선분을 난도질하는 과정을 극한까지 계속 가면, 선분은 무한히 많은 점으로 구성되어 각각의 점은 길이가 0이 아닌가?그런데 0에 무한을 걸면 상상 가능한 결과 모두 나오지 않는다.이는 수학적으로 매우 무서운 상황이다.우리가 이런 혼돈에 빠진 원인은 우리가 극한에 실제로”도달하는 ” 수 있다고 가정한 것이다.즉, 무한을 실제에 도달하는 숫자처럼 다룬 데 있다.아리스토텔레스는 수학과 철학의 사실 무한의 사용을 금지했다.60p의 미적분학은 제논의 추론에서 어느 부분이 잘못되었는지를 밝히는 것으로, 제논의 주장에 반박한다.미적분학의 관점에서 보면 아킬레스와 거북의 문제에는 아무런 역설도 없다.만약 시간과 공간이 연속적이라면 모두가 깨끗이 해결된다. 65p시대에 뒤떨어진 아날로그 시계와 오늘의 디지털/기계식 시계의 차이점을 생각하자.아날로그 시계에서 초침이 카샤카샤하며 각각 구별되는 발걸음으로 진행된다.디지털 시계는 점프를 하면서 시간이 불연속적으로 진행되면 묘사한다.무한은 서로 매우 다른 두 시간 개념 사이에 다리를 놓는 일이 있다.디지털 시계가 시끄러운 한번의 “찰칵”소리 대신 1초에 몇 차례의 작은 딱딱 함께 움직인다고 상상하자.그러면 이제 이런 종류의 디지털 시게와 아날로그 시계 사이에서 아무런 차이도 발견 못할 것이다.개념적으로는 그 차이는 매우 크지만 우리는 그 차이를 구별할 수 없다.68p그러므로 일생 생활에서 불연속적인 것으로 연속적인 것의 간격은 대개 무난히 채울 수 있지만 적어도 훌륭한 근사로서 나타날 수 있다.충분히 작은 단편으로 분할하면, 많은 실용적인 용도에서 불연속인 것으로 대체할 수 있다.이상적인 미적분학의 세계에서 유리한 점이 하나 더 있지만 연속적인 것을 무한히 많은 수의 무한히 작은 단편에서 “정확히 똑같이(근사가 개미나)” 나눌 수 있다.이는 바로 무한의 원리이다.극한과 무한의 도움으로 불연속적인 것으로 연속적인 것이 하나가 된다.68p무한의 원리는 우리에게 모든 것을 끝없이 나눌 수 있다고 가정하라고 요구한다.그렇게 무한히 작은 것이 현실 세계에 존재할까?이 질문에 대해서는 양자 역학이 말에 귀을 기울일 필요가 있다.예를 들어 벽의 수수께끼를 양자 역학의 관점에서 보자.만약 가는 사람이 전자라면, 전자가 유령처럼 똑바로 벽을 통과할 가능성이 있다.이 현상을 “양자 터널 효과”라고 부른다.슈뢰딩거 방정식의 해답은 전자의 확률 파동의 일부는 비록 그 확률이 매우 작지만 통과하지 않는 장벽의 반대편에 존재한다고 말한다.이는 마치 전자가 벽에 터널을 뚫고 통과했듯이 장벽의 반대쪽에서 발견될 확률이 매우 작지만 0이 아니라는 것을 의미한다.우리는 미적분학의 도움을 받고 그런 터널 효과 사건이 발생 비율을 계산할 수 있고 실험 결과는 이 예측이 옳다고 뒷받침한다.양자 터널 효과는 실제로 일어나지 않나!!!물리학자들은 미적분학과 양자 역학을 이용하고 미시 세계를 들여다보며 이론적 창문을 열었다.그들의 통찰력이 낳은 결실에는 레이저, 트랜지스터, 컴퓨터 칩, 평면 텔레비전 화면의 LED등이 있다.70p궁극적인 규모로 시간과 공간을 시각화하는 방법에 대해서는 일치된 의견이 없지만 그 규모가 얼마나 작을지에 대해서는 대체로 의견이 일치한다.그것은 자연의 3개의 기본 상수의 영향을 받고 결정된다.중력 상수 G는 우주에 작용하는 중력의 세기를 나타내는.두번째 정수이다 ℏ(플랑크 상수를 2π으로 나눈 값)은 양자 효과의 강도를 나타낸다.3번째 정수는 빛의 속도 c이다.빛의 속도는 우주의 제한 속도에서 어떤 종류의 신호도 c보다 빨리 달릴 수 없다.1899년, 양자론의 아버지로 불리는 독일의 물리학자 막스, 플랑크는 이 기본 정수를 결합하고 길이의 척도를 만드는 방법이 하나밖에 없다는 사실을 깨달았다.그리고 그 유일무이의 길이가 우주를 측정하는 자연적 미터 자이라고 결론지었다.이 길이를 “플랑크 길이”(Planck length, 우리가 보통 알고 있는 공간이 이제 존재하지 않는 크기)라고 부른다.시간과 공간은 플랑크의 시간과 플랑크 길이보다 작은 크기에서는 존재할 수 없다.이들의 수는 시간과 공간을 잘게 자를 수 있는 한계를 나타내고 있다.가능한 거리 중 가장 긴 것은 우주의 지름이다만 이를 가능한 한 짧은 거리인 플랑크의 길이로 나누어도 자리 수가 60개뿐인 수로 나타난다.”겨우”60자릿수다는 점을 강조하고 싶다.하나의 거리를 다른 거리와 비교한 비율로 나타내는데 필요한 수는 이것이 최대이다.73p처음부터 미적분학은 모든 것을 연속적인 것으로 봐야 한다고 완강히 주장했다.이 이상적인 상상의 세계에서 우리는 모든 것을 끝없이 더 잘게 나눌 수 있다고 생각한다.전체 미적분 이론은 바로 이 가정에 의하여 서고 있다.이 가정이 없으면 우리는 극한 값을 계산하지 못하고 극한치를 찾지 못하면 미적분학은 덜덜 소리를 내며 멈춰설 것… 그렇긴 모든 수가 연속적인 직선을 이루겠다고 생각하고 싶다면 이들의 수는 모두 실수해야 한다.실수는 실재의 근사이지만, 이 방법은 놀랄 만큼 효과가 있다.실재는 다른 방법으로는 모형화하는 것이 매우 어렵다.나머지 미적분학과 마찬가지로 무한 소수라도 무한은 모든 것을 훨씬 단순하게 한다. 74p제2장 ∞ 무한한 힘을 활용한 사람제논이 시간과 공간, 운동, 무한의 본질을 깊이 생각한 때부터 약 200년 후에 무한으로 거부할 수 없는 매력을 느낀 사람이 또 나타났다.그의 이름은 알키메 네스이다.아르키메데스는 적분학의 기초를 닦았다.아르키메데스는 원과 공, 그리고 나머지 곡선 형태의 수수께끼를 탐구하기 위해서, 항상 곡선 형태를 많은 직선과 평면과 보석처럼 깎은 면이 있는 입체 형태로 멋졌다.점점 많은 단편을 상상하며 그것들을 점점 작게 하는 것으로, 근사를 실체에 점점 가까워지면서 무한으로 많은 단편의 극한값을 통하여 정확한 값에 접근했다.77~79p아르키메데스의 또 하나의 놀라운 전략은 수학과 물리학을, 즉 이상과 현실을 결합한 것이다.형태를 연구하는 분야인 기하학을 운동과 힘을 연구하는 분야인 역학과 결합했다.때는 역학을 쉽도록 기하학을 사용하고 때로는 순수한 형태에 대한 통찰력을 역학에서 얻음으로써 그 반대의 방법을 사용할 수도 있었다. 80p80~87p80~87p89~93p논문에서, 아르키메데스는 포물선의 궁형의 넓이를 구하는 문제에 도전했습니다.포물선의 구적 법은 알려지지 않은 포물선의 궁형의 넓이를 정사각형, 직사각형, 삼각형 또는 기타 직선 도형처럼 넓이를 알고 있는 단순한 도형을 이용하여 원하는 방법입니다.그는 포물선의 궁형의 바닥을 지나는 사선을 바닥과 평행을 유지하면서 위로 끌어올렸지만, 포물선의 정상 부근에서 포물선과 만나는 지점(“접점”라고 부른다)까지 끌어올렸다.이어 같은 규칙을 사용하고”모두”단계의 삼각형을 정의했습니다.그는 새로 생긴 각 세 격형의 넓이가 그 친 삼각형의 1/8임을 증명했습니다.두 딸의 세 격형의 넓이는 1/8+1/8=1/4이 됩니다.그래서 넓이=1+1/4+1/16+1/64+···이는 각항이 그 전항의 1/4로 이루어진 무한 급수(기하 급수 또는 등비 급수)입니다.양변에 4를 곱하면 4X의 넓이=4(1+1/4+1/16+1/64+·····)=4+4/16+4/64+···=4+1/4+1/16+1/64+·=4+넓이.그러므로 4 X폭=4+넓이입니까.그러므로 크기=4/3, 즉 포물선의 활형의 규모는 큰 삼각형의 넓이에 4/3을 곱한 것 같습니다.95p아르키메데스는 포물선의 궁형의 넓이가 4/3보다 작거나 크지 않음을 보임으로써 그 넓이가 4/3밖에 없다는 것을 증명했습니다.훗날 셜록, 홈즈는 이 증명 법을 “불가능한 일을 모두 배제하고 남은 것은 그것이 아무리 터무니 없어 보이고도 진실일 수밖에 없다”라는 말로 표현했다.95p아르키메데스는 취약성을 포함한 자신의 개인적 직관을 우리와 공유하는데 미래의 수학자들이 그것으로 자신이 해결 안 된 문제를 해결하기를 기대한다고 합니다.오늘 이 비밀은 “방법 the Method”로 불리고 있습니다.아르키메데스의 “방법”은 “역학적”방법을 사용합니다.그는 포물선의 궁형의 넓이를 마음 속에서 그”무게를 재다”방법에서 요구합니다.이 방법으로 포물선의 궁형의 넓이를 알아낼 겁니다.100p아르키메데스의 “방법”은 “에풀리바스·우 나눔 e pluribus unu”의 속성을 가지고 있다.미국 건국 이념으로서 미국 국새에 새긴 이 라틴어 문구는 “다수에서 하나에 “이란 뜻이다.포물선을 이루무한히 많은 직선에서 하나의 넓이가 나타난다.아르키메데스는 이 크기를 무게로 생각하는 것으로, 선을 하나하나 운반 방법으로 그것을 시소에서 멀리 왼쪽에 있는 좌석으로 옮긴다.그럼으로써 무한히 많은 선을 한점에 위치한 하나의 무게로 나타낸다.하나는 많은 것 대신 그것을 완벽하고 충실하게 나타낸다.이는 시소의 오른쪽 바깥쪽 삼각형과 균형을 취하는 것에도 똑같이 적용된다.연속적인 수직선의 안에서 한점(중심)을 선택한다.이것도 전체를 대표한다.무한은 단일체로 붕괴한다.에풀리바스·우느 음.이는 적분의 시작이다.삼각형과 포물선 지역은 분명히 그리고 이상하게도 무한히 많은 수직선과 같다.107p알크메데스은 모든 수학자가 아끼는 특별한 수학 철학을 표현하고 있다.수학자는 자신이 수학을 “발견” 하고 있다고 느낀다.그 결과는 바로 거기에서 우리를 기다리고 있다.그것들은 우리가 발명한 것이 아니라 수 속에 계속 존재했던 것이다.나는 아르키메데스가 구의 표면적과 부피를 밝히면서 느낀 즐거움을 표현한 것을 읽을 때 그가 느낀 감정을 나도 똑같이 느끼는 것 같다.109p아르키메데스가 π을 함정에 몰아넣고부터 2200년이 지나는 동안 π의 근사값을 보다 정밀하게 요구하는 작업에서 많은 진전이 있었는데, 거기에는 항상 아르키메데스가 도입한 수학적 방법이 이용됬지만 바로 다각형을 이용하는지 무한 급수를 이용하는 방법이었다.더 넓게 보면 그의 유산은 곡선 형태의 기하학을 계량화하는 문제에 처음 무한 과정을 원칙에 입각하여 사용한 것이었다.이 점에서 그에 필적하는 자가 없었고 그 지위는 오늘까지 흔들림 없이 남아 있지 않나!!!그는 우리에서 이 균형 잡힌 물체와 수상의 안정된 물체의 정력학을 귀띔했다.그는 평형의 대가였다.그러나 그 너머에 펼쳐진 땅에는 운동의 수수께끼가 기다리고 있었다.121p제3장 ∞ 운동의 법칙을 발견하다갈릴레오와 케플러 이전에 자연 현상을 수학적으로 이해하려는 시도는 거의 없었다.아르키메데스가 지렛대 법칙과 정유체 역학적 평형 법칙으로 균형의 원리와 부력의 원리를 밝혔지만 이들 법칙은 움직임이 없는 정적인 상황에서만 적용됐다.갈릴레이와 케플러는 아르키메데스의 정적인 세계를 뛰어넘는 물체가 어떻게 돌아가는지를 탐구했다.126p지구 중심적 우주론(천동설)은 사람들을 안심시키고, 상식적으로 보였지만 행성의 운동은 귀찮은 문제를 제기한···지구 중심설이 다양한 결점에도 불구하고 더 그럴듯한 그림에 보였다.1543년 폴란드의 천문학자 니콜라우스·코페르니쿠스가 마침내 지구가 태양의 쥐 위를 누빈다는 급진적인 이론을 발표했다.지구를 신이 창조된 우주의 중심에서 내린 이 이론이지만, 가톨릭 교회가 분노하는 것을 두려워해서 그는 죽음이 가까이 올 때까지 기다리고 책을 출판했다.(그리고 책이 출판되자마자 죽은)132p갈릴레이의 가장 단순하면서도 가장 놀라운 발견은 홀수 1,3,5,7…이에 나이에 숨겨진 낙체의 법칙에 관한 비밀이었다.그는 물체가 “왜” 떨어질지 생각 대신” 어떻게”가나 계량화하겠다고 밝혔다.순간 추적이 어려운 낙하 대신 그는 돌을 경사면 위에 조금만 늦게 굴려도록 하고 그 시간을 물시계를 사용하고 측정함으로써 “맥박이 한번 뛰는 시간의 1/10″의 정확도로 계량화할 수 있었다.그 결과로 “정지 상태로 낙하한 물체가 같은 시간 간격 사이에 통과하는 거리는 1부터 시작되는 기호 같은 비율로 나타났다”다는 결론을 얻었다.물체가 자칫과 위에 구르는 방식에 홀수 1,3,5···법칙이 숨어 있다!그리고 낙하 운동을 빗면의 경사가 수직으로 접근할 때, 물체가 굴러운동의 극한으로 보면 낙하하는 물체에도 같은 법칙이 성립할 것이다.137p처음 시간 단위 동안 공은 1단위의 거리를 2번째 시간 단위 사이에 3단위만 이동한다.그러므로 운동이 시작된 뒤 공이 이동한 거리는 1+3=4단위이다.3번째 시간 동안 이동한 거리는 1+3+5=9로 1,4,9는 연속적인 정수의 제곱에 해당한다.12=1,22=4,32=9. 그러므로, 갈릴레이의 홀수 법칙은 전체 낙하 거리가 지나간 시간의 제곱에 비례한다고 말하고 있듯이 보인다.갈릴레이는 낙체가 걸어온 거리를 알리는 이 법칙과 함께 그 속도를 알리는 법칙도 발견했다.낙체의 속도는 낙하 시간에 비례해서 증가한다.140p 하고 갈릴레이는 날아가는 총알이 포탄 같은 투사체의 운동을 연구했다.이들 물체는 어떤 종류의 호를 그리는 것일까?갈릴레이는 투사체의 운동은 각기 다르게 취급할 수 있는 두가지가 합쳐진 것이라고 생각했다.하나는 지면에 평행인 수평 운동으로 중력에 아무런 영향도 받지 않은 것이고, 또 하나는 중력의 영향을 받고 낙체의 법칙이 적용되는 수직 운동이다.갈릴레이는 이 2종류의 운동을 결합함으로써 투사체가 포물선의 궤적을 따라서 움직인다는 사실을 발견했다.141p작가 스티븐 스트로가츠 Steven Strogatz의다른 저서들.<NonlinearSYNC의 혼돈에서 질서가 어떻게 태어날까>,<X의 기쁨>,<비선형 역학과 혼돈>,<미적분의 아름다움>수학에서는 진자는 다양한 수수께끼를 제기하기로 미적분학의 발달을 자극했습니다.물리학과 공학에서 진자는 진동의 패러다임이 되었습니다.진동이 일어나는 장소는 어디에서나 같은 수학이 적용됐습니다.어느 경우는, 진자와 다른 현상 사이의 연결 관계가 너무 정확한 것으로 같은 방정식을 그대로 재활용하고 사용할 수 있습니다.발전기와 괘종 시계보다 수십억배 빠른 수백만배 작은 첨단 소재의 양자 진동하면서도 같은 방정식이 나타납니다.146p의 진자는 또 인류에게 최초로 시간을 정확히 계산하는 방법도 제공했습니다.진자 시계는 갈릴레이 시대 최고의 기술적 난제였던 바다에서 경도를 조사할 수 있는 문제를 해결한다는 희망을 주었다.위도는 태양과 별을 관측함으로써 파악됐지만 자연 환경에서 경도를 알리는 단서가 없었습니다.항해사는 출발하는 항구이고, 거기 시간에 맞춘 시계를 가지고 바다로 나옵니다.히가시나 서쪽으로 항해하는 동안 배의 위치의 경도를 알려면 그곳의 시간이 정확히 정오(하늘에서 태양이 가장 높은 고도에 이르는 순간)의 출발지의 시간에 맞춘 시계를 보면 좋습니다.지구는 24시간으로 360번의 경도 만큼 자전하므로 현재의 시각과 출발지의 시각이 1시간 차이가 되면 2지점의 경도는 15도 만큼 차이가 납니다.경도 15번을 거기에 환산하면 적도 부근에서는 1600킬로미터에 해당합니다.이 방법으로 배를 바라는 목적지로부터 수킬로미터 이상 떨어지지 않도록 안전하게 안내하는 데는 오차가 하루에 몇초밖에 안 될 만큼 정확한 시계가 필요했습니다.훗날 하우이 한 소스는 진자 대신 평형 바퀴 나선형 스프링에서 시계의 진동을 조절하는 해양 크로노 미터를 발명했는데 이를 회중 시계와 현대적인 손목 시계를 낳은 혁신적인 설계서였습니다.기계식 시계가 경도 문제를 해결하는 열쇠가 된 것처럼 원자 시계는 지구상에서 어떤 물체의 위치를 몇미터 이내의 오차로 정확히 알아보는 키의 역할을 합니다.원자 시계는 갈릴레이의 진자 시계의 현대판입니다.원자 시계도 진동 횟수를 세는 일에서 시간을 측정합니다만, 시계추의 움직임을 추적하는 대신 두 에너지 상태를 오락가락하는 세슘 원자의 진동 횟수를 세는 것입니다.이 진동은 초당 91억 9263만 1770회 일어납니다.149p인공 위성에는 원자 시계가 4개씩 올라오고 있는데 오차가 10억분의 1초 미만인 만큼 서로 정확하게 동기화되고 있습니다.매우 정확하게 잰 시간은 우리가 GPS에 기대하는 매우 정확한 공간적 거리로 변환됩니다… 그렇긴4대의 인공 위성으로부터의 신호가 수신기에 도착하면 GPS기기가 송신 시간과 수신 시간을 비교합니다.이 4개의 시간은 서로 매우 미세한 차이가 있는데 저와 각 인공 위성 사이의 거리가 모두 다르기 때문입니다.GPS장비는 이 미소한 4개의 시간차에 빛의 속도를 걸어 내가 머리 위의 4개의 인공 위성에서 얼마나 먼 거리에 있는지 계산합니다.인공 위성의 위치는 이미 알려졌으며, 매우 정확하게 조절되므로 나의 GP수신기는 삼각 법에서 4개의 거리를 계산하는 자신이 지표면 위에 어느 지점에 있는지를 조사합니다.또 수신기가 위치한 고도와 속력까지 알아볼 수 있습니다.150pGPS는 100나노초 이내 오차로 시간 동기화를 가능하지만 이는 은행 간 이체와 기타 금융 거래에 유용하게 쓰입니다.또 무선 전화와 데이터 망을 동기화하기 위해서도 사용되고 전자기 스펙트럼의 특정 진동수를 효율적으로 공유할 수 있습니다.이 이야기를 이렇게 자세히 하는 이유는 GPS가 미적분학의 숨겨진 유용성을 나타내는 전형적인 예이기 때문입니다.맥스웰의 연구에 의한 미적분학은 무선 통신을 가능하게 하는 전자파의 존재를 예측했어요.또 GPS인공 위성에 탑재된 원자 시계는 세슘 원자의 양자 역학적 진동을 사용하여 미적분학은 양자 학적 방정식과 그것을 푸는 방법의 기반을 형성하고 있습니다.미적분학이 아니면 원자 시계도 존재하지 않았을 것입니다.151p갈릴레이가 지구에서 움직이는 물체의 운동에 관한 비밀을 풀었다면 요한·케플러는 하늘에서 움직이는 행성의 운동에 관한 비밀을 풀었다.피타 고라스가 현에서 갈릴레이가 진자와 투사 단체와 낙체에서 발견했듯이 케플러는 행성의 운동이 수학적 패턴에 따른다는 사실을 발견했습니다.152p158 ~ 160 p케플러의 최초의 위대한 발견은 모든 행성이 타원 궤도를 돈다는 것이였습니다.심지어 모든 행성의 타원 궤도에서 2개의 초점 중 1개에 태양이 위치하고 있음을 발견했습니다.2번째 법칙은 행성이 태양 주위를 도는 동안 행성과 태양을 잇는 가상의 선이 같은 시간 동안 통과하는 면적이 같다고 합니다.궤도상에서 같은 시간 간격만 떨어진 2점을 선택할 뿐 2점의 위치에 관계 없이 그 결과 생긴 부채꼴의 면적은 항상 같습니다.요컨대 케플러의 2번째 법칙은 행성이 일정 속도로 움직이지 않는다고 합니다.태양에 가까워질수록 속도가 빨라집니다.케플러는 부채꼴의 면적을 아르키메데스가 했던 것과 마찬가지로 수많은 가느다란 조각으로 나눈 후, 삼각형의 면적을 재고 모두 함께 부채 측의 면적을 요구했다.사실상 아르키메데스 버전의 적분 법을 사용하고 실제 데이터에 적용한 것입니다.161p케플러의 3번째 법칙은 태양에서 더 멀리 떨어진 행성일수록 궤도를 보다 늦게 돌며 공전 주기도 더 길다는 것입니다.이 법칙에서 흥미로운 미묘한 점은 공전 주기가 단순히 궤도 거리에 비례하지 않는다는 사실입니다.T와 a를 전처럼 지구 나이와 태양과 지구 사이의 거리에 대한 비율로 나타내면, 케플러의 법칙은 T2=a3으로 단순화됩니다.예를 들면 금성은 공전 주기가 지구의 6.15%이지만, 태양으로부터 평균 거리는 지구(6.15%가 아니라)72.3%입니다.T2=(0.615)2≒ 0.378, a3=(0.723)3≒ 0.378163p갈릴레이가 지상에서 성립하는 운동의 법칙을 발견했다면 케플러는 태양계에서 성립하는 운동의 법칙을 발견했습니다.갈릴레이는 합리적이었지만 케플러는 신비주의적 경향이 있었습니다.갈릴레이가 아르키메데스의 지적 후계자였다면, 케플러는 피타 고라스의 후계자에 가까웠다.상상력이 매우 풍부하고 수비적 기질이 강했던 케플러는 곳 곳에서 패턴을 보았습니다.164p여러 질문이 소용돌이 치는 가운데 이슬람과 인도의 수학에서 나온 개념이 유럽의 수학자들에게 앞으로 나아갈 새로운 방법을 제시했으나 그것은 아르키메데스를 넘어 새로운 영역을 개척하는 기회였습니다.동양에서 온 개념은 운동과 곡선을 새로 보는 방식을 낳고, 갑자기 미분학을 탄생시키는 계기가 되었습니다.166p제4장 ∞ 미분학에 서광이 비치다미분학은 복잡한 문제를 무한히 많은 단순한 조작으로 나눈다.그리고 적분학은 이 조각을 다시 맞추어 최초의 문제를 풀지 않나!!!그런데, 미분학은 왜 적분학보다 훨씬 늦게 발전했을까?그것은 “대수학”이 성장하고 거기에서 미분학이 엇갈리고 나왔는데, 대수학이 성장하고 이주하는 돌연변이를 일으키고 변형할 때까지 수백년이 걸렸기 때문이다.중국, 인도, 이슬람 세계에서 태어났다”말로 기술하는 형식으로 구성된 “대수학은 유럽에 도착한 직후에 기호의 예술로 진화하고 더 추상적이고 강력하게 됐다.새로운 품종인 이 기호 대수학은 그 후 기하학과 결합하고 훨씬 강한 해석 기하학을 낳고 다시 새로운 곡선의 동물원을 낳았는데, 이 연구에서 미분학이 탄생했다.170p대수학을 뜻하는 영어 단어”algebra”는 “복원”또는” 깨진 부분을 다시 맞추기”를 뜻하는 아랍어”알 더 블루 al-jabr”에 유래한다.기하학도 고대 이집트에서 탄생했다.기하학의 가장 위대한 정리인 피타 고라스의 정리도 피타 고라스보다 적어도 천년 후 바비로이나잉가 알고 있는 거야…로마가 그리스를 정복한 뒤 특히 알렉산드리아의 도서관이 불타는 서 로마 제국이 망한 뒤 수학 중심지는 동양으로 돌아갔다.대수가 나타나기 전 수백년 동안 기하학 분야에서는 거의 진척이 없었다.오랫동안, 대수학과 산술 분야에서 실질적인 진전이 일어나고 인도의 수학자들은 0과 10진 법의 항치 개념을 발명하는 방정식을 대 수학적으로 푸는 방법이 이집트, 이라크, 페르시아, 중국에서 개발됐다.대수학이 여전히 언어로 표현된 문제를 다루고 있던 이 시기에 문제의 솔루션은 답이 가는 단계별 경로로서 제시됐다.문제를 해결하는 단계별 절차를 뜻하는 “알고리즘 algorithm”이라는 단어는 바로”아르크 아리즈미”의 이름에서 유래했다.결국 무역 일꾼과 상인과 탐험가가 말로 표현된 형태의 대수학과 인도-아라비아 숫자를 서쪽 유럽에 전했다.한편 사람들은 아랍어 텍스트를 라틴어로 번역하기 시작했다.173p네덜란드의 시몬, 스테 병이 인도-아라비아 십진수를 소수에 일반화하는 방법을 나타냈다.스테 병의 새로운 접근법에서는 1개조차 몇가지 피스를 나누어 소수 점 뒤에 정확한 자릿수를 나타냄으로써 십진법으로 쓸 수 있었다.그 당시에는 미적분학을 가능한 혁명적 개념이며, 미적분학에 시간, 공간, 운동, 변화를 기술하는데 필요한, 무한히 정확한 실수를 제공했다.174p의 첫 돌파구는 1630년경 두 프랑스의 수학자 피에르·데·페르마와 르네, 데카르트가 독자적으로 대수학을 기하학과 결합하고 열렸다.그들의 연구에서 새로운 종류의 수학인 “해석 기하학”이 탄생했지만, 해석 기하학의 중심 무대는 방정식이 살면서 형태를 띠게 이뤄진 무대인 xy평면이었다.175p···이런 개념의 융합을 통해서 허름한 도표는 수와 관계와 형태를 혼합하며 그에 따른 산술과 대수학을 기하학에서 융합한다.그리고 바로 여기서 큰 거래가 일어난다.수백년 동안 각자의 길을 달려온 다양한 수학이 이곳에서 들어맞다.(고대 그리스인이 기하학을 산술과 대수학보다 높게 평가하는 이들을 서로 섞지 적어도 자주는 없었다.)177p고대 그리스인은 수를 정수와 분수처럼 불연속적인 양으로 간주했다.이와는 대조적으로, 선분의 길이로 측정되는 연속적인 양은 크기로 간주됐지만 이는 수와는 개념적으로 완전히 구별되는 범주였다.그래서 아르키메데스 시절부터 17세기 초까지 약 2000년간 수는 절대 직선 위에 연속으로 늘어선 점 같은 것으로 간주되지 않았다.고대 그리스인은 길이, 면적, 체적을 명확히 구별했지만 오늘 우리 눈에는 이들은 모두 실언에 불과하다.178p오늘 고등 학교에서 대수학을 배우는 학생들은 y=x2 같은 방정식을 잘 그래프로 그리지만 놀랍게도 x와 y의 형태로 2다음 항을 포함한 높은 차수의 항을 포함하지 않는 모든 방정식이 그리는 곡선은 포물선, 타원, 쌍곡선, 엔화 4개밖에 없다.복잡한 2차 방정식도 이 4개의 곡선 중 1개를 나타낸다.그 답은 포물선이다.페르마와 데카르트는 이 놀라운 우연의 일치를 처음 발견한 사람들이다.새로 발견된 대수와 기하학 관련성은 양쪽의 분야에 축복을 주었다.기하학은 직관적이고 시각적으로 논증을 시작하기에는 반짝이는 천재성이 필요하다.그러나, 대수학은 체계적이고, 그 과정은 쉽게 반복적으로 할 수 있지만 그 공허한 성격 때문에 시각화하지 못하고 기계적이다.그러나, 대수학과 기하학이 함께 힘을 합치면 막강한 위력을 발휘한다.대수학은 기하학 체계를 제공하고 기하학은 대수학에 의미를 부여했다.182p데카르트는 이성과 과학과 회의론의 기반 위에 인간의 지식을 다시 쌓아올리는 데 착수했다.데카르트는 철학 분야의 연구에서 가장 유명하지만”나는 생각한다.때문에 나는 존재한다.Cogito, ergosum”이란 불멸의 명언을 남겼다.모든 것이 의심스러운 때에도 적어도 의심하는 마음이 존재한다는 사실만은 확실하다는 것이다.엄밀한 수학의 논리에 촉발되었다고 생각되는 그의 분석적 접근은 오늘 현대 철학의 시작을 알린 것으로 널리 인정되고 있다.가장 유명한 책”방법 서설”에서 데카르트는 철학 문제를 논의하는 새로운 개념을 도입했다.183p페르마가 생각했던 초기의 미분 개념은 최적화 문제에 대수학을 적용하고 나온 거야…오늘의 시각에서 보면, 페르마의 추론은 기묘하다.페르마는 도함수를 사용하지 않고 최대치를 요구한다.오늘 우리는 최적화 문제를 다루는 전에 도함수를 가르친다.페르마는 이를 반대했다.그러나 그것은 중요하지 않다.그가 생각한 개념은 우리가 생각하는 것과 같은 결과를 낳는다.195pFBI는 수천 만명의 지문 기록을 보유하고 있어 신원 조사 때문에 이 자료를 효율적으로 보존하는 탐색하는 검색할 때 미적분학에 입각한 데이터 압축 방법을 사용한다.스마트 알고리즘은 중요 세부를 전혀 해치지 않고 디지털 지분 파일의 크기를 대폭 축소한다.음악이나 영상을 보존할 때도 모든 음정과 픽셀을 그대로 보존하는 대신 MP3과 JPEG이라는 압축 알고리즘이 정보를 훨씬 효율적인 형태로 농축함으로써 저장 공간을 절약한다.196p데이터는 어떤 패턴에 따른다.사인들은 그 패턴을 구현하고 우리에게 필요한 것을 준다.유일한 문제점은 데이터와 완벽하게 일치하고 서명파가 아니라 어느 정도 차이가 날이다.차를 최소화하려면 최대한 가까운 데이터 점과 일치하는 사인파를 구해야 하지만 바로 여기에 미적분학이 필요하지 않나!!!압축을 가능하게 하는 것은 패턴이다.패턴이 있는 데이터만 압축이 가능하다.랜덤 데이터는 압축할 수 없다.200p에서 200년 후 맥스웰이 전기와 자기를 가져간 것처럼 페르마는 가상의 자연 법칙을 미적분학 언어로 번역한 뒤 엔진을 가동하면서 그 법칙을 입력했다.그러자 그 결과 엔진에서 다른 법칙이 출력된.그리고 페르마는 이후 이론 과학을 지배하게 된 추론 방식을 창시했다.205p안경의 렌즈는 광선을 구부리고 망막 위의 적절한 위치에 초점을 맞추는 것으로 시력을 교정하지 않나!!!굴절 현상은 광선이 공기처럼 밀도가 낮은 매질에서 물이나 유리처럼 밀도가 높은 매질에 들어갈 때에는 두 매질의 경계면에 대해서 수직인 방향으로 “접근”측으로 구부러지다.반대로 밀도 높은 매질에서 낮은 매질에 들어갈 때에는 광선이 수직인 방향에서 ” 멀어진다”측으로 구부러지다.207p페르마가 갓 태어난 미분학을 물리학에 적용했다.지금까지 누구도 시도한 적 없는 일이었다.그리고 그 과정에서 빛이 가장 효율적인 방법으로 진행된다는 것을 보였다.빛은 자신이 선택할 수 있는 모든 경로에서 마치 여기서 저기에 가장 빨리 가는 방법을 아는 것처럼 행동한다.이는 미적분학이 우주의 작동 시스템에 내장된 것을 시사한 초기의 중요한 단서였다.최소 시간의 원리는 후일 최소 작용의 원리에 일반화된 거야…물리적 현상을 설명하기에는 최적화 원리를 사용하여 미적분학에서 그 결과를 추론한다는 개념은 바로 페르마가 한 이 계산에서 시작됐다.211p페르마의 최적화 기술은 곡선으로 접선을 찾는 문제도 해결하도록 했다.이는 데카르트의 피를 수놓았던 문제였다.서양에서 접선을 의미하는 단어”tangent”은 “접촉”또는” 건드린다”이란 뜻의 라틴어에서 유래하지 않나!!!페르마는 현대적인 형태의 미적분학의 길을 열었다.최소 시간의 원리는 최적화가 자연의 구조 속에 깊이 뿌리박고 있음을 보였다.해석 기하학과 접선에 관한 연구는 미분학에 가는 길이다, 적분학에 크게 한 걸음을 내디딘 것으로 곧 다가오는 비약적 발전을 위한 무대를 마련했다.하지만 이 모든 업적에도 불구하고, 페르마의 연구는 뉴턴과 리ー프닛츠이 곧 발견하게 되는 비밀, 최대치와 접선을 요구하는 방법, 즉”도함수”에 못 미쳤다.215p제5장 ∞ 교차로미적분학의 이야기로 획기적인 전환점은 17세기 중엽에 곡선과 운동 변화의 수수께끼가 2차원 격자 판자, 즉 페르마와 데카르트의 xy평면에서 충돌했을 때에 왔다.하지만 페르마와 데카르트는 자신들이 만들어 낸 도구가 다방면에서 얼마나 대단한 위력을 갖고 있는지 몰랐다.그들은 xy평면을 순수 수학의 한 도구로 생각한 것이었다.그러나 그것은 처음부터 방정식과 곡선의 만남, 대수학과 기하학의 만남, 동양 수학과 서양 수학의 만남이 일어난 일종의 교차점이었다.그리고 다음 세대에 아이작·뉴우튼은 그들의 연구뿐 아니라 갈릴레이와 케플러의 연구를 토대로 기하학과 물리학을 맞추고 위대한 종합을 이뤘다.뉴턴의 불꽃은 계몽주의 시대를 열고 서양의 과학과 수학에 혁명을 일으킬 불을 붙였다.220p매우 점진적인 형태로 일어나는 증가를 계량화할 때는 x2, x3 같은 “끈 함수 power function”을 잘 쓴다.힘 함수는 변수 x가 지수 거듭 제곱으로 표시된 함수를 말한다.그 중에서 가장 쉬운 것은 선형 함수이지만, 선형 함수는 종속 변수 y가 독립 변수x와 정비례 관계에 있다.이차 함수적 증가의 경우에는 x값이 증가하면서 변화량 자체가 증가한다.단계가 진행되면서 증가 속도가 점점 빨라진다.x와 x2처럼 잔잔한 힘 함수와는 대조적으로 2 x과 10 x 같은 “지수 함수 exponential function”은 훨씬 폭발적 증가를 나타내지만 선형 증가가 매 단계마다 이 정도의 양이 “가세”방식으로 증가한다면 지수 함수적 증가는 일정 비율만 ” 받고”증가한다.224p10의 거듭 제곱은 방대한 수를 우리가 쉽게 추측할 만큼 크게 압축하는 능력이 있다.이는 “10의 힘”이 과학자들에게 큰 사랑을 받는 이유이기도 하다.일정량이 매우 큰 규모로 바뀌는 상황에서는 10의 거듭 제곱이 적절한 측정 척도를 정의하기 위해서 흔히 쓴다.그 예로는 산성과 염기성도를 나타내는 pH, 지진의 규모를 나타내는 리히터 규모, 소리의 크기를 나타내데시벨 척도 등이 있다.예를 들어 한 용액의 pH가 7(순수한 물 같은 중성)에서 2(레몬 주스 같은 산성)으로 바뀌었다면 그 용액의 수소 이온 농도는 105배, 즉 10만배나 커졌다.pH가 7에서 2로 떨어졌다면 그것은 불과 5단계밖에 떨어지지 않은 것처럼 보이지만 실제로는 수소 이온 농도에 10만배의 변화가 일어난 것이다.231p90은 100보다 약간 작고 100이 102라는 사실을 감안하면 90은 아래는 10이지만 지수는 2보다 약간 작은 수로 표현할 만하다.그러나 그 수는 정확히 무엇일까?로그 logarithm은 바로 이런 질문에 답하기 위해서 발명되었다.log 90=1.9542···이처럼 로그를 사용하면 어떤 양의 수에서도 10의 거듭 제곱으로 표현할 수 있다.로그는 많은 계산을 쉽게 하고 또 수 사이의 놀라운 연결 관계를 보였다.90에 10이나 100을 넣고, 그것에 로그를 먹으면 log 900=2.9542..log 9000=3.9542..log 90=log(9 X 10)=log 9+log 10=0.954200+1.만약 다른 수의 로그 값을 알고 싶으면, 1부터 10까지의 로그만 구하면 된다.그러면 소수 점 이하 부분을 찾을 수 있다.일반적인 룰을 기호로 나타내면 log(a X b)=log a+log b.이런 의미에서 로그는 곱셈 문제를 “훨씬” 간단한 덧셈 문제로 바꾼다.로그가 발명된 이유는 바로 이 때문이다.로그는 계산을 매우 쉽게 한다.곱셈 문제와 제곱 근 입방 뿌리 같은 매우 복잡한 계산을 직접 하는 대신 그 같은 문제를 덧셈 문제로 바꾼 뒤 로그 표의 도움으로 쉽게 해결할 수 있다.요하네스·케플러는 행성과 천체의 천문 표를 작성할 때 이 새 계산 도구를 적극적으로 사용했다.234p지수 함수는 스스로 되감는 증가를 모형화하는 데 사용되고 힘 함수는 너무 급격하고 없는 형태의 증가를 모형화하는 데 사용된다.로그가 유용한 이유는 스테ー프 리무버가 유용한 이유와 같다.즉 다른 도구의 작용을 없던 일로 되돌리는데 사용된다.즉, 로그는 지수 함수의 작용을 무효화시키고 지수 함수는 대수의 작용을 무효화시킨다.밑이 10로스 함수 logx는 지수 함수 10x가 한 일을 없었던 일로 돌리다.이런 의미에서 두 함수는 서로의 역함수인… 그렇긴음높이가 “도”에서 1옥타브상의 “도”에 오를 때 관련 음파의 진동수는 2배로 커진다.한 옥타브가 증가할 때마다 파동의 진동수는 두배씩 커지지만, 우리는 이 두배 증가(진동수의 “곱셈”변화에 해당하는)을 소리 높이가 한 단계씩 높아지기로(즉”더하기”과정에서) 듣는다.이는 매우 기묘한 사실이다.우리는 로그 계산에서 주파수를 검출한다.235p밑이 10의 로그는 오늘의 미적분학에서는 별로 쓰지 않는다.겉보기에는 난해하게 보이지만 10보다 훨씬 자연스럽고 드러난 아래를 가진 로그가 등장하고, 아래가 10명의 로그를 뒷전이었다.자연스러운 아래는 e이다.e는 2.718에 가까운 수 있는데 여기에서 정확한 값을 계산하는 것은 중요하지 않다.중요한 것은 e가 아래의 지수 함수는 함수 자체와 정확히 같은 속도로 증가한다는 사실이다.ex의 증가 속도는 ex자체와 같다.이 경이적인 성질 때문에 밑이 e 인 지수 함수로 표현하면 지수 함수의 모든 계산이 매우 쉽게 된다.밑이 다른 지수 함수는 이러한 이점이 없다.도함수와 적분 미분 방정식 혹은 기타 어떤 미적분학 도구를 다룰 때에도 늘 밑이 e인 지수 함수가 가장 예쁘고 우아하고 아름답다.236pn(이자 지불 횟수)이 무한대에 다가가면 이 액수는 100에 다음 식의 극한치를 곱한 것과 같다.(1+1/n)n. 이 극한치가 e이라는 수에서 정의된다.그 값이 약 2.71828…이래봬도 은행 업계에서는 이 같은 금융 약정을 “연속 복리”라고 부른다.원주율을 나타내는 수가 π일처럼 e에는 무한의 개념이 들어 있다.밑이 10의 지수 함수를 10x로 쓰게, e가 아래의 지수 함수는 ex라고 쓴다.처음에는 기이하게 보이지만 구조적 측면에서 이는 아래가 10의 지수 함수와 같다.모든 원리와 패턴이 같다.ex값이 있는 몇 예를 들어 90라고 할 때 x의 값을 구하려면, 전술한 것처럼 로그를 쓸 수 있다.다만 이번에는 밑이 e인 로그, 즉”자연 로그 natural logarithm”을 써야 하며 ln x로 표기한다.ex=90의 x을 과학용 계산기에 90을 입력하면 ln90≒ 4.4498. 검산을 하려면 이 수를 화면에 그대로 둔 채 ex버튼을 누르면 90이 나온다.로그와 지수는 호치키스와 호치키스 리무버처럼 서로의 작용을 무효화시킨다.239p 난해하게 보일지도 모르지만 자연 로그는 실용적으로 매우 편리하게 사용하는 경우가 많아 투자가와 은행가에 72의 법칙으로 알려진 경험 법칙의 이면에도 위치하고 있다.주어진 이자율로 돈이 2배로 늘어나는 데 걸리는 시간을 알고 싶다면 72를 이자율로 치면 된다.요컨대 이자율이 연리 5%라면, 예금액이 2배로 늘어나는 시간은 72÷6=12년이 소요된다.이 경험 법칙은 자연 로그와 지수 함수적 증가의 성질에서 유리했고 이자율이 충분히 낮을 때 잘 성립된다.지수 함수적 증가와 감소가 일어나는 모든 분야에 자연 로그가 숨어 있다.239p요점을 다시 반복하면 e을 특별하게 만드는 것은 ex의 변화 비율이 ex라는 곳에 있다.그래서 이 지수 함수의 그래프는 점점 높이 뛴다 정도로 그 경향은 항상 현재의 높이와 일치한다.높이 올라갈수록, 기울기가 더 빨라진다.미적분학의 전문 용어를 써서 표현하면 ex는 그의 도함수이다.(=미분하면 자신이 나오는 함수) 이렇게 말하는 함수는 그저 이것밖에 없다.ex는 모든 함수에서 가장 아름다운-적어도 미적분학의 관점에서 보면.240p핵연쇄 반응도 지수 함수적 증가의 지배를 받는다.우라늄 원자가 분열하면 중성자가 나오고 이들의 중성자는 다른 원자와 충돌하고 원자를 분열시킬 수 있다.하자 이들의 원자에서 더 많은 원자가 나오고 같은 과정이 반복된다.중성자 수의 지수 함수적 증가는 억제하지 않을 경우 핵 폭발을 일으킬 수 있다.급격한 감소도 지수 함수로 기술할 수 있다.고립된 우라늄 덩어리에 들어 있는 원자 중 절반이 방사성 붕괴에 걸리는 시간은 언제나 똑같다.방사성 붕괴를 통해서 처음의 양의 반으로 감소 시간을 반감기라고 부른다.242p제6장 변화의 용어21세기의 관점에서 미적분학은 자주 변화의 수학으로 간주된다.미적분학은 두개의 큰 개념으로 쓰고 변화를 계량화하지만 그 두 개념은 바로 도함수와 적분이다.도함수는 “얼마나 빠른가?”,”얼마나 급한 것?”,”얼마나 민감한 것?” 같은 질문에 답을 내다.모두 다양한 형태의 “변화율”에 관한 질문이다.변화율은 종속 변수에 일어난 변화를 독립 변수에 일어난 변화로 나눈 값을 의미한다.245p가장 잘 알려진 변화율의 예는 “속력”이다.마찬가지로 “가속도”도 변화율이다.빗면”경향”는 변화율을 나타내는 3번째의 예이다.모든 다양한 변화율 속에서 xy평면에서 곡선의 기울기가 가장 중요하고 유용하지만 나머지 모든 변화율을 대표하기 때문이다.기울기는 일종의 보편적인 변화율이다.247p미적분학에서 최초의 큰 문제는 변화율이 달라지는 때 그 변화율이 무엇을 의미하는지를 정의하는 것이다.우리가 알고 있는 변화율의 개념을 확대할 필요가 있다.”거리=변화율(속력)X시간”이라는식을 포함한 대수 문제에서 변화율은 항상 정수이다.그러나 미적분학에서는 그렇지 않다.변화율도 바뀌기 때문에 그것 자체가 함수라고 본다.”도함수”개념이 바로 그 일을 한다.도함수는 변화율을 함수로 정의한다.만약 하나의 변수가 바뀌면 관련 변수는 어느 정도 바뀔까?그리고 그 변화는 증가와 감소의 어느 쪽으로 나타날까?이들은 바로 도함수에 관한 질문이다.미적분학에서도 도함수를 나타내는 기호는 dy/dx이다.통상의 변화율 Δ y/Δ x와는 달리 두가지 변화 dy와 dx가 무한으로 작다고 가정한다는 차이가 있다.작은 변화인 dx와 dy는 미분 상황에서 바로 무한히 작은 조각에 해당한다.그리고 이들을 다시 맞추어 고르게 갖는 것은 바로 적분이 하는 것이다.249p미적분학에는 3가지 핵심 문제가 있다.1)순방향 문제(곡선이 주어졌을 때 곡선 상의 모든 지점의 기울기를 요구하는), 2)역 방향 문제(곡선 상의 모든 지점의 경사가 주어졌을 때 그 곡선을 요구하는), 3)면적 문제( 주어진 곡선에서 곡선 아래의 면적을 요구하는)249p기하학의 맥락에서 표현한 이 질문은 매우 건조하게 들릴 수 있다.그러나 질문을 현실을 강하게 재해석하면, 즉 21세기의 관점에서 운동과 변화에 관한 문제에 다시 해석하면 이 질문은 매우 광범위한 것으로 바뀐다.기울기는 변화율을 측정하고 면적은 변화의 누적을 측정한다.그래서 기울기와 면적은 물리학, 공학, 금융, 의학을 비롯한 변화가 항상 중요한 관심사인 모든 분야에서 나타난다.문제와 그 해결책을 알면 현대식 계량적 사고의 우주가 열리는…이에 나이·변화와 누적 문제로 우리는 순방향 문제와 역 방향 문제가 겉으로는 서로 매우 다르게 보이지만 사실은 태어나자마자 서로 따로 살아가게 된 쌍둥이라는 사실을 알게 되는데 이 충격적인 사실을 “미적분학의 기본 정리”라고 부른다.253p미적분학에서 “변화율”은 항상 두가지 변화의 비율을 의미한다.즉 y의 변화를 x의 변화로 나눈 값으로 기호로는 Δ y/Δ x로 표기하지 않나!!!이제는 변화율을 숫자로 생각하는 습관을 버려야 한다.변화율은 함수이다..255p선형 관계가 아닌 함수는 그 변화율 Δ y/Δ x이 대중없다.기하학적으로 말하면 함수의 그래프가 점마다 지는 곡선이라는 뜻이다… 그렇긴포물선의 다른 점에서 접선의 기울기가 얼마인지 명확히 모른다.포물선상의 임의의 점(x, y)을 크게 확대되면서 그 점을 항상 눈 중심에 두고 보면 갈수록 확대되고 갈수록 포물선의 그 부분은 더욱 직선으로 다가설 것이다.”무한”확대한 극한에 이르면 확산된 부분은 직선으로 다가설 것이다.이때 이 극한 직선을 곡선의 해당 지점을 지났다”접선”으로 정의하고 접선의 기울기를 그 점의 “도함수”이라고 정의한다.곡선 형태는 어렵다.그러나 직선의 형태는 간단하다.이처럼 도함수를 따지는 것은 전형적인 미적분 법으로 무한한 원리를 적용하는 가장 기본적인 방법이다.259p고교와 대학 미적분학 강의에서는 처음에는 위에 나온 x2의 도함수를 구하거나,”sinx의 도함수는 cosx이다.”또는”ln x의 도함수는 1/x이다.” 같은 도함수 규칙을 계산하거나 배우는데 많은 시간을 쓰다.그러나 우리는 변화율의 개념을 이해하고 그 추상적 정의가 실제로 어떻게 적용되는지를 아는 것이 더 중요하다.263p현실 세계의 이 파동은 사인파의 놀라운 성질을 엿볼 기회를 제공한다.놀라운 성질은 한 변수가 완전한 사인파 패턴에 따르면 그 변화율 역시 1/4사이클처의 완전한 사인파가 된다는 사실이다.이 자기 재생 능력은 사인파로만 볼 수 있지 않는 독특한 성질이다.267p제논 이후 2000년 후, 미분학의 창시자들은 순간 속도의 수수께끼를 풀었다.그들이 고안한 직관적인 해결책은 순간 속도를 극한치, 구체적으로는 점점 짧은 시간 간격에 대한 평균 속도로 정의하는 것이었다.275p내삽 법interpolation의 기본 개념은 사용 가능한 데이터에서 공간 사이를 매끄러운 곡선으로 연결하는 것이다.즉 불연속인 점을 연결하는 것이다.276p나는 요동을 일종의 비유라고, 즉 실제 현상을 미적분으로 모형화하는 작업의 본질을 말하는 일종의 교육적 우화라고 생각한다.만약 측정 해상도를 너무나도 정밀하게 높이려 시도한다면 혹시 어떤 현상을 시간적으로도 공간적으로도 매우 자세히 들여다보면 매끄러움이 붕괴되기 시작할 것.만약 분자 수준에서 측정한다면 어떤 형태의 운동도 같은 일이 일어날 가능성이 있다.그 수준에서는 운동을 전혀 매끄럽지 않고 불안으로 흔들릴 모습으로 나타난다.그런 상황에서는 미적분학도 우리에게 알리는 것이 별로 없다.그러나 전체적인 경향에 주의를 기울인다면 진동을 제거하고 매끄럽게 하는 것이 좋다.이 우주에서 일어나는 운동과 변화의 본질을 내보이다처럼 미적분학이 우리에게 제공한 엄청난 통찰력은 매끄러움의 힘이 얼마나 대단한지를 증언한다.279p추상 예술은 무엇이 필수인가, 무엇이 사소한 것일까, 무엇이 신호에서 무엇이 잡음인가, 무엇이 경향에서 무엇이 흔들린지를 알것이다.이것이 예술이다 이유는 그 같은 선택에는 항상 위험 요소가 포함되기 때문이다.피카소는 “예술은 우리에게 진리를 깨우치다 거짓말이다”라고 말했다.자연의 모형을 만들미적분학에 대해서도 마찬가지다.17세기 전반에 미적분학은 운동과 변화를 추상화하는 과정에서 강력한 도구로 쓰이기 시작했다.280p제7장 ∞ 비밀의 샘17세기 후반 영국의 아이작·뉴턴과 독일 고트푸 리드·빌헬름·라이프니츠가 수학의 방향을 돌이킬 수 없을 정도로 바꿨다.두 사람은 운동과 곡선에 관한 잡다한 개념을 하나로 모아 미적분학 a calculus에 발전시킨 거야…면적을 경사와 관련해서 그것에 의해서 적분을 도함수와 연결시켰다.적분과 변화율은 같은 피를 물려받은 혈족이었다.뉴턴이 발견한 비밀의 샘은 “미적분학의 기본 정리”이었다.283~286p기본 정리는 단순히 면적을 구하는 기술은 아니다.기본 정리는 우리가 관심을 기울여모든 것의 미래를 예측하고 우주에서 일어나는 운동과 변화의 비밀을 푸는 열쇠이다.287p288 ~ 293p뉴턴은 뛰어난 통찰력으로 비록 속도가 일정하지 않고도 면적과 거리 사이의 이등식 관계가 “항상”성립한다는 사실을 발견했다.한 물체가 아무리 불규칙하게 움직이더라도 시간 t사이에 그 속도 곡선 밑에 누적된 면적은 항상 그 시간 사이에 물체가 여행한 거리와 같다.이는 기본 정리의 하나의 버전이다.뉴턴은 기하학에 시간을 도입하고 기하학을 물리학처럼 보았다.290p정지 상태에서 출발하고 일정 비율로 가속이 일어나물체의 경우 이동 거리는 경과한 시간”제곱”과 비교하지 않나!!!가속도가 속도의 변화율인 것처럼, 속도는 거리의 변화율이다.(순 방향으로 추론하기 쉽고, 반대로 추론하기 어렵다)뉴턴의 기본 정리는 주어진 변화율로부터 미지 함수를 추론하는 이 어려운 역 방향 문제를 재조명하는 많은 사례에서 문제를 완전히 풀렸다.그 열쇠는, 문제의 흐름과 팽창에 관한 문제를 재구성하는 것에 있었다.294p도 함수는 기하학에서 곡선의 기울기로 아주 자연스럽게 나타났다.또 도함수는 물리학에서도 속도 같은 다른 변화율인 것으로 나타났다.그러므로 도함수는 기울기와 속도, 그리고 더 넓게는 기하학과 운동 사이에 있는 연결 관계가 있는 것을 암시했다.뉴턴의 마음 속에 일단 변화 함수 개념이 굳은 자라면 기하학과 운동을 연결하는 그 힘이 마지막 관문을 통화하는 강력한 무기가 됐다.마침내 면적의 문제를 푼 것은 바로 변화율이었다.뉴턴이 면적 문제를 역학적으로 바라보는 순간 이 모든 개념 사이에 깊이 숨어 있던 연결 관계가 어둠 속에서 점차 나타나기 시작했다.(위)그림은 우리가 관심을 갖는 3개의 함수와 그 관계를 보였다.주어진 곡선은 가운데에 있는 미지의 기울기는 오른쪽에, 미지의 면적은 왼쪽에 있다.이들은 미적분학의 3가지 핵심 문제로 나타나는 함수이다.곡선 y가 주어졌을 때 우리는 그 기울기와 면적을 조사한다.기울기를 찾는 것을 왜”순방향 문제”라고 부르는 것인지 그 이유가 이 다이어그램에 분명히 나타나고 있다.면적 A과 곡선 y도 도함수를 통해서 서로 관련되어 있다.302p면적이 무한히 작은 직사각형 조각이 무한히 많이 모이는 합이다.그래서 면적은 “적분”이다.모든 조각을 다시 합친 전체에서 무한히 작은 변화가 축적된 것이다.그리고 도함수가 기울보다 더 중요한 것처럼, 적분은 면적보다 더 중요하다.면적은 기하학에 있어서 중요한 것에 대한, 적분은 “모두”에 있어서 중요하다.303p이 문제를 풀 수 있으면 움직이는 물체의 위치를 먼 미래까지 예측할 수 있게 되는 것이다.제가 이 문제의 해결 방법을 적분학의 성배라고 부르는 이유는 이 때문이다.이 문제만 풀리면 모든 것이 해결되는 것이다.역 방향 문제와도 밀접한 관계에서 “면적 문제”는 단순히 면적에 관한 문제에 그치지 않는다.307p뉴턴은 “변화하는 양”(오늘날 우리가 시간의 함수로서 생각하는 것)과 그”아리률”(시간에 따른 변화율, 즉 그 도함수)을 말했다.그리고 두개의 중심 문제를 발견했다.1) 변하량이 주어졌을 때, 그 기여율을 어떻게 구할 수 있을까?(순방향의 문제.주어진 곡선의 기울기를 찾기 쉬운 문제.혹은 알려진 함수의 변화율, 즉 도함수를 구하는 과정에서 오늘의 “미분”라고 부르는 과정이다.)2)기여율이 주어졌을 때 달라지량은 어떻게 구할 수 있을까?(역 방향의 문제.면적 문제를 푸는 열쇠.이는 곡선의 기울기에서 곡선을 추론하는 어려운 문제이다.함수의 변화율로부터 미지 함수를 추론하는 과정이며 오늘의 “적분”라고 부르는 과정이다)308p적분이 미분보다 훨씬 어려운 이유는 국지적인 것으로 전체적인 것 사이의 차이와 관계가 있다.국지적인 문제는 쉽게 전체적인 문제는 어렵지 않나!!!적분은 전체적인 연산이다.여기에서는 현미경의 대신 망원경을 사용한다.도중에 붕괴 사건은 모두 중요하다 어느 것 하나 함부로 무시할 수 없다.310p뉴턴은 사실상 무한의 원리를 알고리즘으로 바꿨다.전통적인 무한의 원리는 복잡한 면적을 계산하려면 그것을 보다 단순한 면적의 무한 급수로 상상한다고 한다.뉴턴은 이 전략에 따랐으나 기본 요소로서 형태가 아니라 기호를 사용함으로써 그 방법을 개선했다.통상 사용한 조각, 좁은 띠나 다각형 대신 그는 x2, x3처럼 기호 x의 거듭 제곱을 사용했다.오늘 우리는 이 전략을 “가슴 급수 방식 amethod of power series”라고 부른다.315p자연 로그에 손을 낸 뒤 뉴튼은 자신의 생명의 급수를 천문학, 측량 항해 등에서 엔화나 주기 또는 삼각형을 다룰 때마다 등장하는 삼각 함수에 확대 적용한… 그렇긴 중요한 것은 뉴턴의 부대가 미적분학에 사용 스위스 아미 나이프를 제공했다는 것이다.숨 급수로 무장한 뉴턴은 적분을 하고 대수 방정식의 근을 구하다, 사인과 코사인, 로그 같은 “비 대수학적 함수”의 값을 계산할 수 있었다.321p아르키메데스에서는 무한한 원리를 담고 있는데 페르마부터는 혼전을 배웠다.소수는 인도에서 왔고, 변수는 아랍의 대수학에서 왔다.곡선을 xy평면의 방정식으로 나타내는 방법에는 데카르트의 연구에서 왔다.뉴턴은 이러한 모든 것을 섞어서 새 것을 일궜지만, 그것은 우리가 오늘 아직 미적분 문제를 풀때 사용하는 것으로 목의 급수를 다양하게 사용하는 방법이다.324p제8장 ∞ 마음이 만들어낸 허구1672년부터 1676년 사이에 라이프니츠는 독자 버전의 미적분학을 창안했다.뉴턴과 마찬가지로 기본 정리를 발견하는 증명했고 그 중요성을 인식하고 이를 바탕으로 알고리즘 체계를 만들었다.라이프니츠는 이것을 이용해서 그 당시 알려진 구적 법과 접선에 관한 거의 모든 정리를 “순식간에 “유도했다고 썼다.라이프니츠는 뉴턴보다 10년 후에 미적분학을 발견했으나 여러 이유로 일반적으로 공동 발견자로 인정 받고 있다.미적분학을 우아하고 상냥한 형태로 먼저 발표하고 섬세하고 우아하게 설계한 그의 미적분 기호는 오늘도 그대로 사용되고 있다.335p”무한소 infinitesimal”은 애매한 존재이다.무한소는 상상할 수 있지만 안에서 0이 아니라 가장 작은 수이다.무한소는 모든 것보다 작지만 무보다는 크다.여기 역설적인 사실은 무한소에도 다양한 크기가 있다는 것이다.무한소의 무한 소부분은 처음의 무한소보다 비교할 수 없을 만큼 작다.이를 이차 무한소와 부를 수 있다.무한소의 개념은 극한을 다루는 하나의 방법으로 나왔다.라이프니츠는 한 동료에게 이렇게 말했다.”철학적으로 말하면, 나는 무한으로 큰 양을 안 믿듯 무한히 작은 물량도 믿지 않는다.즉, 무한대도 무한소도 믿지 않는다.나는 누구도 미적분학에 적합한 간결한 표현 방식 때문에 마음이 만들어 낸 허구라고 생각한다.”수학의 이상적인 힘으로 무한소는 실수 체계 속에 존재하지 않지만, 실수를 일반화한 특정의 비표준적 수 체계에는 존재한다.338p무한소를 dx처럼 사용하는 이 방법은 한계를 쓰고 쓸 수 있어 완전히 합법적이고 엄밀하고 있다.오늘의 교과서에서는 극한을 사용하고 미분을 설명한다.그러나 무한소를 사용하는 편이 간단하고 더 빠르다.이 문맥에서 무한소를 가리키는 전문 용어는 “미분초 differential”이다.이 이름은 그것을 Δ x와 Δ y 같은 차이 difference에서(그 차이가 0에 근접 극한 상황에서)생각한 곳에서 나왔다.342p한 양의 정수 n에 대해서, y=xn의 도함수 dy/dx=nxn-1임을 알 수 있지만, 추론을 조금 있으면, 이 결과를 음수, 분수, 무리수 n까지 확장할 수 있다.일반적으로 무한소, 그리고 특히 미분 요소의 최대 덕목은 계산을 훨씬 용이하게 하고 준다는 점이다.이들이 지름길을 제공한다.미분 요소의 유일한 문제점은 그것이 존재하지 않는다는 것이다.미분 요소는 비록 존재하더라도 이치에 맞지 않는다.라이프니츠의 제자였던 요한·베르누이는 dx가 0이 아닌데도 x+dx=x처럼 어처구니없는 방정식이 성립해야 한다는 사실을 깨달았다.무한소는 진실을 말하는데 도움이 되는 피카소의 거짓말 같다.347p결론은 dA=y dx=f(x)dx이다.짜잔!이는 바로 미적분학의 기본적인 정리이다.혹은 dA/dx=y=f(x)$A.left(x\right)\=\\int_0^xf\left(x\right)\dx$A(x)=∫ x0f(x)dx목이 긴 백조처럼 생긴 기호는 사실 S를 길게 늘어진 것이다.S은 일본 summation을 구하는 과정이 일어나고 있음을 상기시킨다.이는 적분에서나 볼 수 있는 특이한 종류의 합이다만, 무한히 많은 무한소의 조각의 합에서 이 모든 것이 하나의 응집된 면적을 통합되고 있다.합계를 나타내는 이 기호를 “적분 기호”라고 부른다.라이프니츠는 1667년에 쓴 원고에서 적분 기호를 같이 사용하고 이 기호는 미적분학에서 가장 유명한 상징이 되었다.적분 기호의 그 아래에 붙어 있는 0과 위에 달린 x는 x축으로 직사각형이 선 간격의 두개의 종점을 나타낸다.이 두개의 종점은 “적분 한계”로 불린다.349p수학에서 멋진 해법을 중시하는 이유 중 하나는 그것이 아름다울 뿐 아니라 매우 위력적이기 때문이다.우아한 해법이 던지는 빛은 종종” 다른 “문제를 밝히는 데도 쓰인다.351p라이프니츠는 반대 방향의 문제와 미적분학의 기본 정리를 다음과 같이 표현했다.”도형의 면적을 찾는 문제는 다음과 같이 정리된다:급수가 주어졌을 때 그 합을 구하다 문제, 혹은 급수가 주어졌을 때 그 차이가 주어진 급수의 항과 일치하는 또 하나의 급수를 찾아 문제.기여율과 팽창하는 면적이 뉴턴을 비밀의 샘으로 이끈 것처럼 차와 망원 아이는 라이프니츠를 미분과 적분에 이끌었다.라이프니츠는 거기서 다시 기본적인 정리에 올랐다.359p제9장 논리적 우주미적분학은 수학의 모든 분야를 연결하는 숨은 관계의 그물을 밝혔다.특히 미분 방정식의 등장으로 미적분학은 더 일반적인 변화에 대한 연구로 옮겼다···1687년 뉴턴은 이성의 힘을 입증하고 계봉 시대를 야기했던 세계의 체계를 내놓았다.뉴턴은 지구의 낙체와 행성의 궤도에서 갈릴레이와 케플러가 찾던 이상한 패턴을 설명할 수 있는 일련의 방정식을 발견했다.그리고 그는 지상 세계와 천상 세계의 구분을 없앴다.뉴턴 이후에는 단 하나의 우주만이 존재하고 동인한 법칙이 항상 모든 곳에 적용됐다.376p오늘 물리학을 공부하는 대학생들은 처음에는 고전 역학(뉴턴과 그 후계자들이 세운 역학)을 배운다.그 후 아인슈타인의 상대성 이론과 플랑크, 아인슈타인, 보아, 슈뢰딩거, 하이젠베르크, 다시 랙의 양자론이 그것으로 대체되었다는 말을 듣는다.새로운 이론은 뉴턴의 시간과 공간, 질량과 에너지의 개념을 뒤집었다.그리고 양자론은 자연을 확률적이고 통계적으로 기술하기로 결정론을 내세웠다.그러나 미적분학의 역할만은 아무런 변화가 없었다.양자 역학처럼 상대성 이론에서도 자연의 법칙은 여전히 미적분학의 언어로 기술되고 문장은 미분 방정식의 형태로 표현됐다.뉴턴은 자연이 논리 적임을 보였다.377p뉴턴의 이론에서 가장 중요한 것은 운동에 관한 다음 미분 방정식이다.F=ma이는 역사상 가장 중요한 방정식 중 하나로 꼽힌다.이날 행사는 움직이는 물체에 미치는 힘 F는 물체의 질량 m과 물체의 가속도 a의 곱과 같다는 뜻이다.이게 미분 방정식인 이유는 가속도가 변화율(물체의 속도 변화율)이기 때문이다.혹은 라이프니츠의 용어를 쓴다면 두개의 미분 요소의 대비이기 때문이다.즉, a=dv/dt여기서 dv는 무한히 작은 시간 간격 dt동안 물체의 속도 v에 일어나무한히 작은 변화를 말한다.그러므로 물체에 가해지는 힘 F를 알고 물체의 질량 m을 알면 F=ma라는식을 이용하여 그 가속도 a=F/m에서 요구할 수 있다.그리고 이 가속도는 물체가 어떻게 움직일지 결정한다.가속도는 다음 순간에 물체의 속도가 어떻게 달라지는지를 가르치고 그 속도는 물체의 위치가 어떻게 달라지는지를 일러준다.이런 면에서 F=ma는 일종의 신탁 같다.이 미분 방정식은 한번에 아주 작은 한 걸음씩 물체의 미래 행동을 예측하지 않나!!!379p자신의 운동 법칙과 중력의 법칙을 공리다고 가정할 때 미적분학을 연역 도구로 쓰고 그는 거기서 케플러의 3가지 법칙이 논리적 필연으로 나온다는 사실을 증명했다.갈릴레이가 발견한 관성 법칙, 진자의 등시성 비면을 구르는 공에서 성립하는 홀수의 법칙, 투사체의 포물선호도 마찬가지였다.이들은 모두 역 제곱 법칙과 F=ma에서 도출되는 필연적 결과였다.383p이체 문제를 풀려고 F=ma을 적분하려면 무한의 원리를 이용해야 했다.아르키메데스를 비롯한 많은 사람은 곡선의 수수께끼를 푸는 데 무한한 원리를 적용했지만 그는 처음으로 운동의 수수께끼를 푸는 데 무한한 원리를 적용했다.그의 공식은 아무리 멀어도 미래의 어떤 순간에 행성이 어디에 있는지 그리고 얼마나 빨리 움직이는지)예측할 수 있었다.385p뉴턴은 중력이 실제로 무엇인가, 또 왜 중력이 자신이 제시한 수학적 기술에 따르는지 설명할 수 없다고 인정했다.그의 작품은 고전 기하학을 미적분학과 특이한 방식으로 혼합한 것으로 기하학의 옷을 입은 미적분학이었다.387p뉴턴 이후 수백년 동안 많은 수학과 물리학자, 천문학자가 그의 체계를 보다 정교하게 개선했다.이 시스템은 매우 큰 신뢰를 받아 어느 행성의 운동이 예측에서 벗어나면 천문학자들은 자신이 몰랐던 중요한 원인이 있다고 생각했다.1846년 해왕성이 발견된 것도 바로 이런 추론의 덕분이었다.텡노 별의 궤도에 예측에서 벗어나는 움직임이 나타나면 천문학자들은 덴노 별 너머에 존재하는 미지의 행성 때문에 천왕 별의 움직임에 섭동이 일어난다고 판단했다.미적분 계산은 미지의 행성이 어디 있는지 예측하고 천문학자들이 그곳을 집중 조사 중 해왕성을 발견했다.388p사실에 근거해서 미적분학을 도구로 사용 뉴턴의 경험 주의적·연역적 어프로치는, 이전 철학자(특히 아리스토텔레스)의 선험적 형이상학을 압도했다.그것은 과학 이외에도 결정론과 자유에서 자연 법과 인권에 이르기까지 계몽주의의 모든 개념에 큰 영향을 미쳤다.390p뉴턴이 행성의 타원 궤도를 설명할 때, 그리고 캐서린·존슨이 존·글렌이 탄 우주 캡슐의 궤적을 계산할 때 두 사람은 모두”상미분 방정식”을 풀었다.여기서 “위 ordinary”이라는 단어는 비하하는 의미에서 쓴 게 아니라 독립 변수가 그냥”하나”만 있는 미분 방정식을 가리킬 때에 사용 전문 용어이다.일반적으로 말하면, 상미분 방정식은 있게 일어난 무한히 작은 변화(예를 들면 무한으로 짧은 시간의 경과)의 결과로 다른 것(행성의 위치나 바이러스 농도)에 어떻게 무한히 작은 변화가 일어나는가를 기술한다.395p카미 미분 방정식은 하나 이상의 물체로 구성된 불연속계를 다루기에 적합하고 있다.상미분 방정식은 대기권에 재진입하는 하나의 우주선과 전후로 흔들리는 한 진자, 태양의 주위를 도는 하나의 행성의 운동을 기술할 수 있다.문제는 각각의 물체를 점에, 즉 공간적 범위가 전혀 없는 무한하게 작은 티끌 같은 존재에 이상화할 필요가 있다는 것이다.뉴턴 이후 수백년간 수학자들과 물리학자들은 상미분 방정식이 기술하는 현실 세계권의 미래를 예측했다.이에 사용된 수학적 기술에는 뉴턴의 힘 급수 개념을 확장한 것, 라이프니츠의 미분소 개념, 미적분학의 기본 정리를 사용하는 변환 등이 포함됐다.396p 편미분 방정식이 상미분 방정식보다 훨씬 풍부하다.편미분 방정식은 시간과 공간에서 “동시에 ” 움직이고 바뀌거나 또는 두개 이상의 공간 차원에서 움직이고 바뀐 연속계를 기술한다.식어 갈 국 그릇과 함께 피곤한 해먹 모양을 그 같은 방정식으로 기술할 수 있다.호수에 오염 물질이 확산되는 양상과 전투기 날개 위를 지나는 공기의 흐름 역시 그 같은 방정식으로 기술할 수 있다.398p보잉은 아르키메데스의 접근을 써서 문제의 단편으로 나누고 각 단편에 대한 문제를 푼 뒤 그 단편의 답을 맞추어 다시 전체로 했다.이는 무한의 원리, 즉 미적분학의 기반을 이루는 분할-정복 전략을 실천에 옮긴 것이다.402p현대 과학에서 사용되는 미적분학은 대체로 편미분 방정식을 만들어 풀어 해석하는 문제이다.전기와 자기를 기술하는 맥스웰 방정식의 다섯 편미분 방정식이다.탄성, 음향학, 열의 흐름, 유체의 흐름, 기체 동력학을 기술하는 방정식도 마찬가지다.금융 옵션 가격을 결정하는 블랙-쇼ー루즈 모형, 신경 섬유에 따라서 확산되는 전기 자극의 모습을 보이는 호지킨-헉슬리 모형을 비롯한 그 명단은 계속 되지만 이 모든 것이 편미분 방정식으로 기술된다.심지어 현대 물리학의 최전선에서 편미분 방정식이 여전히 수학적 기반을 제공한다.아인슈타인의 일반 상대성 이론은 중력을 4차원 시공간 구조에 생긴 곡률로 상상한다.표준적인 비유는 시공간을 덤블링처럼 탄성이 좋은 변형이 잘 일어나는 옷감으로 상상하는 것이다.정상 상태로 천은 팽팽하고 있지만 그 위에 볼링 공처럼 무거운 물체를 올리면 그 무게 때문에 천을 밑으로 돌다.이와 매우 비슷한 방식으로 태양처럼 무거운 천체는 주변의 시공간 구조를 굽힐 수 있다.이번에는 더 작은 물체, 예를 들면 작은 구슬(행성을 나타낸다)을 트램펄린 휘어진 표면 위에 굴리는 상상하는.구슬은 직선으로 나아가대신에, 구불구불한 표면의 등고선을 따라서 달리며 볼링 공 주위를 거듭 돌다.아인슈타인은 행성이 태양의 주위를 도는 이유가 바로 이 때문이라고 설명했다.행성은 어떤 힘에 끌려서 태양의 주위를 도는 것은 아니다.그냥 굽은 시공간에 천으로 저항이 가장 적은 경로를 따라서 움직이기 때문이다.이 이론은 이해하기가 쉽지 않지만 그 수학적 설명의 중심에는 편미분 방정식이 있다.미시 세계를 다루는 이론인 양자 역학도 마찬가지다.양자 역학의 주요 방정식인 슈뢰딩거 방정식도 편미분 방정식이다.404p10장 ∞ 파동 만들기1807년, 푸리에는 미적분을 사용하고 열의 흐름의 수수께끼를 풀었다.놀랍게도 쇠 막대들이 식기 시작했을 때 그 길이에 따라서 온도 분포가 아무리 불규칙하기도 이런 문제를 풀 수 있다는 사실을 발견했다… 그렇긴푸리에는 한점의 순간 온도를 이웃의 순간 온도와 비교하는 과정을 연구하면서 오늘”열 방정식”라고 부르는 변이 미분 방정식을 발견했다.이 방정식은 두개의 독립 변수에 대한 도함수를 포함하지만, 하나의 도함수는 시간(t)의 무한히 작은 변화에 관한 것이고, 나머지 하나의 도함수는 철봉 위에서 위치(x)의 무한히 작은 변화에 관한 것이다.그는 초기의 온도 패턴이 “어떤”것이든 동등한 단순한 사인파의 합으로 대체할 수 있다고 주장했다.409p각각 사인파는 계곡과 마루가 얼마나 많은가에 의해서, 지수 함수적으로 빨리 약화되었다.바닥이 많은 사인 파일일수록 일찍 약해졌지만 열 점과 찬 점이 서로의 근처에 많은 이들 사이에 열 교환이 보다 일찍 일어나서 그 결과로 더 빨리 평형으로 됐기 때문이다.각각 사인파를 이루는 빌딩 블록이 어떻게 약해지는지 안·푸리에는 이제 이들을 도로 다 합체시킴으로써 원래의 문제를 풀것뿐이었다.411p의 음차는 자루 끝에 두 갈래로 갈라진 U자형의 철봉이 붙어 있다.고무 망치로 소리의 고리를 치면 쇠 막대들이 매초 440번의 진동수로 진동한다.이 진동이 부근의 공기를 흔든다.철봉이 진동하면서 밖으로 움직일 때에는 공기를 압축하고 안쪽으로 움직일 때에는 주변의 공기를 희석한다.이에 따른 공기 분자가 전후로 왕복하면서 사인 파장의 압력파를 만들어 내지만 우리의 귀은 이를 순음에서, 즉 지루하고 특별한 특징 없는 라에서 지각한다.같은 라 음을 바이올린이나 피아노로 내놓을 수 있지만 그 소리는 다양하고 따뜻하게 들린다.이 소리도 초당 440사이클의 같은 기본 진동수로 진동하지만 소리의 모퉁이에서 나오는 소리와 다르게 들리지만 독특한 배음의 조합으로 구성되고 있기 때문이다.배음은 삼각파를 나타내는 전 공식에 포함된 sin3x와 sin5x 같은 파동을 가리키는 음악 용어이다.배음은 기본 진동수의 배수인 진동을 추가하기로 소리에 음색을 가하지 않나!!!푸리에의 개념이 가진 통합적인 힘은 “어떤”악기의 소리도 무한히 많은 소리의 굴곡의 배열을 통해서 합성할 수 있다는 데 있다.이것이 바로 최초의 전자 신시사이저가 작동하는 방식이다.이 장치는 많은 사인파를 조합해서 악기의 소리를 만들어 냈다.416p파동 방정식이 열 방정식, 기타의 편미분 방정식을 푸는데 사인파가 매우 적합한 이유는 변화율과 손발이 매우 잘 맞는다는 데 있다.특히 사인파의 도함수는 단순히 위상이 1/4사이클 정도 차이가 있는 사인파이다.이것은 매우 놀라운 성질이다.다른 종류의 파동에는 이러한 성질이 없다.일반적으로 모종의 곡선에 대해서 그 도함수를 요구하자, 미분을 통해서 곡선이 뒤틀린다.그래서 이전과 이후의 형태가 같지 않다.이처럼 미분하는 것은 대부분의 곡선에는 큰 외상적 경험이다.그러나 사인들은 그렇지 않다.도함수를 하더라도 예전과 같은 사인파의 모습으로 나타난다.유일한 손상(실은 이건 손상도 아니지만)은 사인파가 시간 관계상 조금 더 이동할 뿐이다.즉, 종래보다 1.4사이클처에서 정점에 달한다.418p만약 낮의 길이 데이터가 “완전한 “사인파라면 그리고 그 차를 어느 날 그 다음날을 기준으로 희생양으로 삼은 “순간”와 다음의 순간을 기준으로 보면 순간 변화율(거기로 유도한 “도함수”파동)은 정확히 1/4사이클 분 앞으로 이동한 완전한 사인파이다.1/4사이클의 이동은 흥미로운 결과를 낳는다.이는 사인파의 도함수를 “두”요구하자 전 사인파보다 1/4+1/4사이클 아프로 이동된 모습으로 된다는 것을 의미한다.그래서 이 변화율은 전체로서 전 사인파보다 1/2사이클 먼저 이동한다.이는 과거 바닥이 지금은 계곡으로 이전의 골짜기가 지금은 바닥이 된다는 뜻이다.즉, 원래의 사인파를 거꾸로 뒤집은 꼴이 되는 것이다.d/dx(d/dx sin x)=-sin x.여기서 라이프 니치의 미분 기호 d/dx의 도함수를 두번 요구하자 그 결과는 sin x-1을 곱한 것과 마찬가지임을 나타내고 있다.2번의 미분 결과를 이렇게 단순한 곱셈에 대체한다는 것은 환상적인 단순화 작업이다.속도는 거리의 도함수이다.그러므로 가속도는 거리의 “도함수의 도함수”인 셈이다.간단히 말하면, 가속도는 거리의 이층도 함수(두차 도함수)이다.이층도 함수는 물리학과 공학 분야에서 아무 데도 나타난다.2계 도함수는 뉴턴의 방정식과 함께, 열 방정식과 파동 방정식에서도 주역으로 등장한다.물리학자의 관점에서 보면 사인파의 놀라운 점은 정상파를 이룬다는 점이다.사인파는 상하로 진동할 뿐 앞으로 나아가지 않는다.더욱 놀라운 사실은 정상파가 단일 주파수로 진동한다는 것이다.이는 파동의 세계에서 매우 드문 현상이다.대부분의 파동은 백색광이 무지개를 이루는 색이 합쳐진 것처럼 많은 진동수의 결합으로 구성되어 있다.이 점에서 정상파는 혼합 파동이 아닌 순수한 파동이다.421pX선은 뇌 조직을 통과하면서 회색질과 흰색질, 그리고 어쩌면 뇌 종양 핏덩어리 등을 만난다.이들 조직은 X선의 에너지를 어느 정도 흡수하지만 그 정도는 조직의 종류에 의해서 가지각색이다.CT의 목적은 전 부분에 대해서 그 흡수 패턴을 지도로 하는 것이다.이 정보로부터 CT는 종양이나 핏덩어리가 어디 있는지 나타낼 수 있다.CT가 뇌를 직접적으로 보는 것은 아니다.다만, 뇌 속의 X선 흡수 패턴을 보는 것이다.수학이 하는 것은 다음과 같다.X레이는 뇌 조각의 특정 지점을 통과하고 에너지의 일부를 잃다.이는 빛이 선글라스를 통과하면서 강도가 약해지는 것과 비슷하다.여기서 문제는 X선이 지나는 경로에 다양한 종류의 뇌 조직이 나란히 있다는 것이다.이들 조직은 불투명도가 각각 다른 선글라스가 나란히 있는 것과 마찬가지다.그러나 우리는 이들의 선글라스 중 어느 것의 불투명도도 모른다.우리가 알아내는 것이 바로 그것이다!조직은 종류에 의해서 흡수 성질이 다르기 때문에 X레이는 뇌를 지나 반대 측의 X선 감지기에 도착할 때까지 도중에 각 단계마다 줄어드는 강함이 다르다.이 모든 감소분의 순수 효과를 계산하려면 X선이 조직을 통과하는 동안 무한히 작은 단계에서 그 힘이 얼마나 줄었는지를 알아본 뒤 그 결과를 적절히 맞춰야 한다.이것이 바로 적분이다.431p제11장 ∞ 미적분학의 미래제11장 ∞ 미적분학의 미래Yes24 ‘미적가루의 힘’ 바로가기 ↓미적분의 힘 bitl.bz추신)1중학교, 고교, 심지어 대학의 수학에서 미적분을 배웠지만, 재무 관리와 투자론도 미적분을 이용했지만···미적분의 원리와 의미를 이렇게 감각적이고 철학적으로 명쾌하게 깨달은 바가 없었다.Crystal clear!지금도 좋고 상쾌해서 옛날 배운 적이 아깝지 않다.고마운 책이다.